Çarpanlar ve katlar konusu, öğrencilerin sıklıkla zorluk yaşadığı bir konu olup aslında mantığını anlayınca o kadar zor olmadığını göreceğiniz bir konudur.
Çarpanlar Konusu
Çarpanlar konusu matematiğin en önemli konuları arasında yer almaktadır. Pozitif bir tam sayıyı tam bölen tüm pozitif sayılara o sayısının bölenleri ya da çarpanları denilir. Pozitif tam sayıların çarpanları ve bölen sayıları birbiriyle benzerdir.
Örnek olarak;
- 6 sayısının çarpanları 1, 2, 3 ve 6’dır.
- 6 Sayısının bölenleri de aynı şekilde 1, 2, 3 ve 6’dır
Bir sayının çarpanlarını bulmak çok kolaydır.
Örneğin;
- a sayısının çarpanlarını bulmak için, 1 sayısı ile başlayarak a sayısından daha büyük olmayan tam sayıların a sayısını kalansız olarak bölme işlemini deneyebilirsiniz.
- Sayıların bazıları için ise bölünebilme kurallarını uygulayabilirsiniz.
- Seçtiğiniz a sayısına kalansız bir şekilde bölünebilen sayılar a sayısının çarpanlarıdır.
Çarpanları öğrenmek için mutlaka özelliklerini bilmelisiniz. Şimdi, Çarpanların özelliklerini sizlere anlatacağım;
- Bir pozitif tam sayının çarpanlarının sayısı minimum 2 tanedir. Bir tanesi 1 sayısıyken diğeri de kendisidir.
- Bir sayının kendinden büyük sayı ile çarpanı bulunamaz. O sayının en büyük çarpanı yine sayının kendisidir.
- Asal sayıların çarpanları yalnızca 2 adettir. Bunlardan biri 1 rakamı ve diğeri de sayının kendisidir.
- Sayının değer olarak büyümesi, çarpanların sayısının artması anlamına gelmez.
Doğal Sayıların Katlarını Bulmak
Örneğin;
Doğal sayıların katlarını bulmak için, bir doğal sayının kalansız bir şekilde bölündüğü bütün sayılara, o sayının katları denir.
Çarpanlar ve Katlar Hakkında Bilinmesi Gerekenler
2 sayısını ele alalım. 2 sayısının katları 2, 4, 6, 8… gibi sayılardan oluşur.Bir sayının çarpanları, o sayının katlarının çarpanları demektir. Bu demek oluyor ki, o sayının katlarının da kalansız olarak bölünmesidir.
Çarpanlar ve katlar matematik konusunun en bilindik konuları olup, anlaşılması ve çözülmesi oldukça basittir.
- Çarpanlar ve katlar konusu birbiriyle bağlantılı konulardan oluşur
- Her doğal sayı, 2 doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir
- Tüm bu doğal sayılara o sayının çarpanı denilebilir
- Bu çarpanlar o sayıyı aynı zamanda kalansız olarak bölebildiği için çarpanlara bölen sayıları da denilebilmektedir.
- Çarpan, bir sayıyı kalansız bir şekilde bölebilen doğal sayılara denilmektedir.
Çarpanlara Örnek Olarak;
- 24 sayısını ele alalım;
24 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 sayılarından oluşmaktadır. 24 sayısının en küçük çarpanı 1 iken, en büyük çarpanı ise 24’tür.
- 8 sayısını ele alalım
8 rakamının çarpanları 1, 2, 4 ve 8 rakamlarından oluşmaktadır. 8 rakamının en küçük çarpanı 1 iken, en büyük çarpanı 8’dir.
Örneğin;
- 8 / 1 = 8
- 8 / 2 = 4
- 8 / 4 = 2
- 8 / 8 = 1
Olmakla birlikte 1, 2, 3, 4 ve 8 rakamları 8’i kalansız olarak bölmektedir.
Çarpan Çiftleri
Bir çarpanın çifti, belirli bir çarpımın elde edilmesi için çarpılabilecek 2 doğal sayıya denir.
8 rakamının çarpan çiftlerini ele alalım. 8 rakamının çarpan çiftleri aşağıdaki gibidir;
1 ve 8 rakamları 8 rakamının çarpan çiftleridir. Çünkü 1 x 8 = 8’dir.
2 ve 4 rakamları 8 rakamının çarpan çiftleridir. Çünkü 2 x 4 = 8’dir.
Kat Nedir
Bir doğal sayının başka bir doğal sayı ile çarpma işlemi yapılması, kat işleminde başka bir sayı olarak elde edilmesidir. Örneğin, 3’ün katlarını ele alalım.
3’ün katlarından ilk dört tanesi 3, 6, 9, 12 sayılarıdır. Bunun nedeni ise aşağıda verilen örnekte daha iyi anlaşılacaktır.
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
sonuçları elde edilmektedir.
3 rakamının diğer katlarını ele alacak olursak 15, 30 ve 300 sayılarıdır. Bunları da aşağıda verilen örnekte daha iyi anlayacaksınız.
3 x 5 = 15
3 x 10 = 30
3 x 100 = 300
Bir sayının tüm katlarını listelemek oldukça uzun zaman alacak ve zaten bu örneklerle oldukça iyi anlayacaksınız. Verilen örnekte, 3’ün katlarını bulmak için 3 rakamını sonsuz sayılarla çarpabilirsiniz.
Bir Sayının Katlarının Belirlenmesi
Bir sayının başka bir sayının katı olup olmadığını öğrenmek için, o sayı ile kalansız bir şekilde bölünüp bölünmediğine bakarak, kolaylıkla anlayabilirsiniz. Eğer sayı kalansız olarak tam bölünüyorsa o sayının katıdır diyebiliriz.
Örneğin;
15 sayısı 3 sayısının katıdır.
15 / 3 = 5
19 sayısı 3 sayısının katı değildir.
19 / 3 = 6’dır. Kalan ise 1’dir.
