Gerçek bir sayının işaretsiz değerini veren terim mutlak değerdir. Örnek olarak 3; hem 3’ün hem de -3’ün mutlak değerinin sonucudur. Dolayısıyla y sayısının mutlak değeri |x|olarak gösterilmektedir.

Örnek:

5 ve -5 sayısının 0’a olan uzaklığı ölçüldüğünde 5 birimdir. Bu durumu sembolle gösterdiğimizde

|5| = 5 ve |−5| = 5 olarak gösterilebilmektedir.

Örnek:

x < 0 olmak üzere;

3| x |-| 2x |-x

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

x > 0 olduğundan 2x <0 dır.

3.| x |-| 2x |-x=3.(-x)-(-2x)-x

=3x+2x-x

=-2x tir.

Mutlak Değer Sembolünden Kurtulmak İçin Ne Yapılmalıdır?

a ve b reel sayılar olmak üzere aşağıdaki işlemler uygulanır:

1.   a > 0 iken

|a|=-a dır.

|-a|=-(-a)=a dır.

2. a <0 iken

|a|=-a dır.

|-a|=-a dır.

3. a<b iken

a < b ⇒ a-b <0

|a-b|=-(a-b)=-a+b dir.

4. a<b iken

a <b ⇒ 0<b<-a

|b-a|=b-a dır.

Dolayısıyla mutlak değerin içi pozitif olduğunda içerdeki ifade dışarıya pozitif olarak yani olduğu gibi çıkmaktadır.

Mutlak değerin için negatif ise içeride olan ifade de dışarıya önüne eksi işaretini alarak (-) çıkmaktadır.

Mutlak Değerin Özellikleri

1. Her x reel sayısı için

|x| = |-x|’tir.

• Her bir x ile y reel sayıları için;

|x|.|y| = |x.y|

• y ≠ 0 olurken her bir x ile y reel sayıları için

|x|/|y| = |x|/|y|

• x reel sayısı için

|xⁿ| = |x|ⁿ  

• a pozitif bir reel sayı olmak üzere;

|x| = a ise x = a ya da –x = -a olmaktadır.

Örnek:

|3x + 3|=  18 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:

|3x + 3|=  18

Örnek:

x<0 olduğuna göre

|2x-1|-|1-x|+|2x| işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

a ve b pozitif reel sayılar olmak üzere

1. |x|=a ise

-a < x <a dır.

2. |x|>a ise

a>x    x<-a dır.

3. a <|x|<b ise

a < x <b veya  a < -x <b dir.

Örnek

|x+3| ≥ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Örnek:

|x – 2| ≤ 3 eşitsizliğinin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: